【一元二次不等式怎么解】一元二次不等式是数学中常见的问题，通常形式为 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ ax^2 + bx + c < 0 $（其中 $ a \neq 0 $）。解决这类不等式的关键在于找到对应的二次函数图像与x轴的交点，并结合开口方向来判断不等式的解集。下面是对一元二次不等式解法的总结。
一、解题步骤
1. 整理不等式：将不等式化为标准形式 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ ax^2 + bx + c < 0 $。
2. 求根：利用求根公式或因式分解法求出对应方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根。
3. 画图分析：根据二次函数的图像（抛物线）开口方向（由a的正负决定）和根的位置，判断不等式的解集。
4. 写出解集：根据图像和不等号的方向，确定不等式的解区间。
二、解法总结表
| 步骤 | 内容说明 |
| 1. 整理不等式 | 将不等式写成标准形式 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ ax^2 + bx + c < 0 $，并确保 $ a > 0 $（若 $ a < 0 $，可两边同时乘以 -1 并改变不等号方向） |
| 2. 求根 | 解方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，得到两个实数根 $ x_1 $ 和 $ x_2 $（若判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac \geq 0 $） |
| 3. 分析图像 | 根据 $ a $ 的正负判断抛物线开口方向： - 若 $ a > 0 $，开口向上； - 若 $ a < 0 $，开口向下 |
| 4. 判断解集 | 根据不等号方向和抛物线开口方向，得出解集： - 若 $ a > 0 $，且不等式为 $ > 0 $，则解集为 $ (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) $； - 若 $ a > 0 $，且不等式为 $ < 0 $，则解集为 $ (x_1, x_2) $； - 若 $ a < 0 $，则符号相反 |
三、特殊情况处理
- 无实数根（即 $ \Delta < 0 $）：
若 $ a > 0 $，则 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 对所有实数成立；
若 $ a < 0 $，则 $ ax^2 + bx + c < 0 $ 对所有实数成立。
- 有重根（即 $ \Delta = 0 $）：
方程只有一个实数根 $ x_0 $，此时不等式的解集为：
- 若 $ a > 0 $，$ ax^2 + bx + c > 0 $ 的解集为 $ x \neq x_0 $；
- 若 $ a < 0 $，$ ax^2 + bx + c < 0 $ 的解集为 $ x \neq x_0 $。
四、示例解析
例1：解不等式 $ x^2 - 5x + 6 > 0 $
1. 因式分解：$ (x - 2)(x - 3) > 0 $
2. 根为 $ x = 2 $ 和 $ x = 3 $
3. 抛物线开口向上
4. 解集为 $ (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) $
例2：解不等式 $ -x^2 + 4x - 3 < 0 $
1. 两边乘以 -1，不等号方向改变：$ x^2 - 4x + 3 > 0 $
2. 因式分解：$ (x - 1)(x - 3) > 0 $
3. 根为 $ x = 1 $ 和 $ x = 3 $，开口向上
4. 解集为 $ (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) $
通过以上步骤和表格总结，可以系统地掌握一元二次不等式的解法，提高解题效率和准确性。
