【二项分布公式是什么】在概率论与统计学中，二项分布是一种常见的离散概率分布，用于描述在n次独立重复试验中，成功次数k的概率。每次试验只有两种可能的结果：成功或失败，且每次试验的成功概率是固定的。
一、二项分布的基本概念
- 试验次数（n）：进行的独立试验次数。
- 成功概率（p）：每次试验成功的概率。
- 失败概率（q）：每次试验失败的概率，q = 1 - p。
- 成功次数（k）：在n次试验中成功的次数。
二、二项分布的公式
二项分布的概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
其中：
- $ C(n, k) $ 是组合数，表示从n个元素中取出k个的方式数，计算公式为：
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$
三、二项分布的特点
| 特点 | 描述 |
| 独立性 | 每次试验之间相互独立 |
| 固定次数 | 试验次数n是固定的 |
| 二种结果 | 每次试验只有两种可能结果（成功/失败） |
| 固定概率 | 每次试验的成功概率p保持不变 |
四、二项分布的应用场景
- 投掷硬币（正面或反面）
- 质量检测（产品合格或不合格）
- 问卷调查（回答“是”或“否”）
- 体育比赛中的胜负预测
五、二项分布的表格总结
| 项目 | 内容 |
| 分布类型 | 离散型 |
| 公式 | $ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $ |
| 参数 | n（试验次数）、p（成功概率） |
| 期望值 | $ E(X) = np $ |
| 方差 | $ Var(X) = np(1-p) $ |
| 应用领域 | 金融、医学、工程、统计分析等 |
通过了解二项分布的公式和特性，我们可以在实际问题中更准确地计算和预测事件发生的概率，从而做出科学合理的决策。
