【一元二次不等式的解法】一元二次不等式是初中到高中数学中的重要内容，其解法主要依赖于二次函数的图像和判别式的分析。掌握一元二次不等式的解法，有助于理解函数的性质，并为后续学习更复杂的不等式打下基础。
一元二次不等式的一般形式为：
$$ ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{或} \quad ax^2 + bx + c < 0 $$
其中 $ a \neq 0 $，$ a $、$ b $、$ c $ 为常数。
解一元二次不等式的基本步骤如下：
1. 求出对应的一元二次方程的根，即解 $ ax^2 + bx + c = 0 $；
2. 计算判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $；
3. 根据判别式的值判断根的情况；
4. 结合二次函数的图像（抛物线）确定不等式的解集。
一元二次不等式的解法总结
| 判别式 $ \Delta $ | 根的情况 | 不等式类型 | 解集范围 |
| $ \Delta > 0 $ | 两个不同的实根 | $ ax^2 + bx + c > 0 $ | $ x < x_1 $ 或 $ x > x_2 $ |
| $ ax^2 + bx + c < 0 $ | $ x_1 < x < x_2 $ | ||
| $ \Delta = 0 $ | 一个实根（重根） | $ ax^2 + bx + c > 0 $ | $ x \neq x_1 $ |
| $ ax^2 + bx + c < 0 $ | 无解 | ||
| $ \Delta < 0 $ | 无实根 | $ ax^2 + bx + c > 0 $ | 全体实数 $ R $ |
| $ ax^2 + bx + c < 0 $ | 无解 |
注意事项
- 当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上，此时若不等式为“>”，则解集在两根之外；若为“<”，则在两根之间。
- 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下，解集与 $ a > 0 $ 的情况相反。
- 若不等式中含有等号（如 $ \geq $ 或 $ \leq $），则需将根包含在解集中。
实例解析
例1：解不等式 $ x^2 - 5x + 6 > 0 $
1. 解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $，得 $ x = 2 $ 和 $ x = 3 $；
2. 因为 $ a = 1 > 0 $，抛物线开口向上；
3. 所以不等式 $ x^2 - 5x + 6 > 0 $ 的解集为 $ x < 2 $ 或 $ x > 3 $。
例2：解不等式 $ -2x^2 + 4x - 2 \leq 0 $
1. 方程 $ -2x^2 + 4x - 2 = 0 $ 化简为 $ x^2 - 2x + 1 = 0 $，解得 $ x = 1 $（重根）；
2. 因为 $ a = -2 < 0 $，抛物线开口向下；
3. 不等式 $ -2x^2 + 4x - 2 \leq 0 $ 的解集为全体实数 $ R $。
通过以上方法，可以系统地解决各种一元二次不等式问题。建议在实际练习中多画图辅助理解，提高解题准确率。
