在数学和物理领域中，向量是描述方向和大小的重要工具。当我们需要处理与某个已知向量平行的新向量时，通常会涉及到单位向量的概念。所谓单位向量，是指具有长度为1且与原向量方向相同的向量。下面将详细介绍如何求解平行于某一给定向量的单位向量。

首先，假设我们有一个非零向量 \(\vec{v}\)，其分量表示为 \((x, y, z)\)。为了找到这个向量的单位向量 \(\hat{v}\)，我们需要遵循以下步骤：

第一步：计算向量的模长

向量的模长（或称为长度）可以通过公式计算得出：

\[

|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

\]

这里，\(x\)、\(y\) 和 \(z\) 分别代表向量在三个坐标轴上的分量。

第二步：构建单位向量

一旦得到了向量的模长，就可以通过将每个分量除以该模长来构造单位向量：

\[

\hat{v} = \left( \frac{x}{|\vec{v}|}, \frac{y}{|\vec{v}|}, \frac{z}{|\vec{v}|} \right)

\]

第三步：验证结果

最后，确认新得到的单位向量是否满足条件：其模长应该等于1。这可以通过再次应用模长公式来验证。

例如，如果原始向量是 \(\vec{v} = (3, 4, 0)\)，那么第一步计算模长：

\[

|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

\]

接着，第二步构建单位向量：

\[

\hat{v} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0 \right)

\]

最后验证：

\[

|\hat{v}| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{1} = 1

\]

这种方法简单直观，并且适用于任何非零向量。理解并掌握这一过程对于解决更复杂的数学问题非常有帮助。希望本文能够帮助你更好地理解和运用单位向量的相关知识！