在概率论与统计学中，正态分布是一种极为重要的连续型随机变量分布形式，其概率密度函数具有钟形曲线的特点。正态分布由两个参数决定：均值μ和方差σ²。其中，方差作为衡量数据分布离散程度的重要指标，对于理解正态分布的特性至关重要。

要计算正态分布的方差，我们首先需要回顾方差的基本定义。方差的公式为：

\[ \text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] \]

其中，\( X \) 是随机变量，\( \mu \) 是 \( X \) 的期望值（即均值）。因此，计算方差的关键在于求解 \( (X - \mu)^2 \) 的数学期望。

假设 \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)，即 \( X \) 服从均值为 \( \mu \)、方差为 \( \sigma^2 \) 的正态分布，则其概率密度函数为：

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

为了验证正态分布的方差确实是 \( \sigma^2 \)，我们需要直接从定义出发进行推导。通过对方差公式展开并结合正态分布的概率密度函数积分性质，可以证明 \( \text{Var}(X) = \sigma^2 \)。

具体推导过程如下：

1. 根据方差定义，将 \( (X - \mu)^2 \) 展开后代入期望公式；

2. 利用正态分布的对称性和标准化特性，化简积分表达式；

3. 最终得到结果为 \( \sigma^2 \)，从而验证了正态分布的方差公式。

值得注意的是，在实际应用中，若已知一组样本数据来自正态分布，可以通过样本方差来估计总体方差。样本方差的计算公式为：

\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

其中 \( n \) 是样本数量，\( \bar{x} \) 是样本均值。这种方法能够有效避免偏差问题，并提供较为准确的估计。

综上所述，正态分布的方差可以通过理论推导或样本统计两种方式获得。无论是学术研究还是工程实践，掌握这一知识点都具有重要意义。