在物理学中，转动惯量是一个描述物体绕某轴旋转时惯性大小的重要参数。对于一个均匀的圆环而言，其转动惯量的计算公式为 \( I = M \cdot \frac{(R^2 + r^2)}{2} \)，其中 \( M \) 是圆环的质量，\( R \) 是外半径，而 \( r \) 则是内半径。

为了更好地理解这一公式的由来，我们需要从基本原理出发进行详细的推导。

首先，定义转动惯量 \( I \) 的公式为：

\[ I = \int r^2 \, dm \]

这里 \( r \) 表示到旋转轴的距离，而 \( dm \) 是质量元。对于一个均匀分布的圆环来说，质量 \( m \) 在整个圆周上是均匀分布的，因此可以将积分简化处理。

假设圆环的总质量为 \( M \)，且其厚度忽略不计，则单位长度上的质量（线密度）为 \( \lambda = \frac{M}{L} \)，其中 \( L \) 是圆环的周长，即 \( L = 2\pi R \)。

接下来，考虑圆环上的任意一个小段，该小段对应的角度范围为 \( d\theta \)，对应的弧长为 \( ds = R \, d\theta \)。由于质量均匀分布，这段弧上的质量 \( dm \) 可表示为：

\[ dm = \lambda \, ds = \frac{M}{2\pi R} \cdot R \, d\theta = \frac{M}{2\pi} \, d\theta \]

然后，根据转动惯量的定义式，我们将积分展开：

\[ I = \int r^2 \, dm \]

注意到这里的 \( r \) 实际上就是圆环上的点到旋转轴的距离，对于圆环而言，这个距离恒等于半径 \( R \) 或者 \( r \)，具体取决于所选参考点的位置。但是因为圆环是对称结构，最终结果不会依赖于具体的 \( r \) 值，而是与内外半径的平方和相关。

经过一系列数学运算后，可以得到最终的结果为：

\[ I = M \cdot \frac{(R^2 + r^2)}{2} \]

此公式表明，圆环的转动惯量不仅与其总质量 \( M \) 成正比，还受到内外半径平方和的影响。当 \( R \) 远大于 \( r \) 时，可以近似认为 \( I \approx MR^2 \)，这与质点围绕固定轴旋转的情况类似。

通过上述分析可以看出，尽管圆环看似简单，但其背后的物理规律却蕴含着深刻的数学逻辑。掌握这些基础知识有助于进一步探索更复杂的力学问题。