【常用积分公式】在数学学习和应用中，积分是一个非常重要的概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。掌握一些常用的积分公式，不仅可以提高解题效率，还能帮助理解积分的基本思想。以下是一些常见的不定积分和定积分公式，以加表格的形式进行整理。
一、基本积分公式
1. 幂函数积分
对于任意实数 $ n \neq -1 $，有：
$$
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
$$
2. 指数函数积分
$$
\int e^x \, dx = e^x + C
$$
$$
\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)
$$
3. 三角函数积分
$$
\int \sin x \, dx = -\cos x + C
$$
$$
\int \cos x \, dx = \sin x + C
$$
$$
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
$$
$$
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
$$
4. 反三角函数积分
$$
\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C
$$
5. 对数函数积分
$$
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln
$$
6. 有理函数积分
$$
\int \frac{1}{x-a} \, dx = \ln
$$
二、常见积分公式汇总表
| 积分表达式 | 积分结果 | 说明 | ||
| $\int x^n \, dx$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \neq -1$ | ||
| $\int e^x \, dx$ | $e^x + C$ | 指数函数的积分 | ||
| $\int a^x \, dx$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ | $a > 0, a \neq 1$ | ||
| $\int \sin x \, dx$ | $-\cos x + C$ | 三角函数积分 | ||
| $\int \cos x \, dx$ | $\sin x + C$ | 三角函数积分 | ||
| $\int \sec^2 x \, dx$ | $\tan x + C$ | 三角函数积分 | ||
| $\int \csc^2 x \, dx$ | $-\cot x + C$ | 三角函数积分 | ||
| $\int \frac{1}{1+x^2} \, dx$ | $\arctan x + C$ | 反三角函数积分 | ||
| $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ | $\arcsin x + C$ | 反三角函数积分 | ||
| $\int \frac{1}{x} \, dx$ | $\ln | x | + C$ | 对数函数积分 |
| $\int \frac{1}{x-a} \, dx$ | $\ln | x - a | + C$ | 有理函数积分 |
三、小结
以上是常见的不定积分公式，适用于大多数初等函数的积分运算。实际应用中，还需结合换元法、分部积分法、有理函数分解等技巧来处理更复杂的积分问题。掌握这些基础公式，有助于快速解决积分问题，并为进一步学习微积分打下坚实基础。
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