【知道两点及半径求圆心坐标】在几何问题中，已知两个点和圆的半径，求出圆心坐标是一个常见的问题。这类问题通常出现在数学、工程、计算机图形学等领域。根据几何原理，可以通过解方程组的方式找到满足条件的圆心坐标。
一、问题概述
已知两点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，以及圆的半径 $ R $，要求找出圆心 $ O(x, y) $ 的坐标。
由于圆心到两个点的距离都等于半径，因此可以列出以下两个方程：
$$
\sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = R \\
\sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} = R
$$
两边平方后得到：
$$
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = R^2 \quad \text{(1)} \\
(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = R^2 \quad \text{(2)}
$$
通过联立这两个方程，可以解出圆心坐标 $ (x, y) $。
二、解题步骤
1. 建立方程组：将两个点代入圆的方程。
2. 消元法求解：通过相减或展开方程，消去二次项，得到线性方程。
3. 求解变量：利用代数方法求出 $ x $ 和 $ y $。
4. 验证结果：检查是否满足原始条件。
三、关键公式与步骤总结
| 步骤 | 公式/操作 | 说明 |
| 1 | $ (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = R^2 $ | 圆心到点A的距离为R |
| 2 | $ (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = R^2 $ | 圆心到点B的距离为R |
| 3 | 相减两式，得到线性方程 | 消去平方项，简化为一次方程 |
| 4 | 解线性方程，求出一个变量 | 如 $ y = kx + b $ |
| 5 | 代入任一方程，求另一个变量 | 得到圆心坐标 |
| 6 | 验证解是否符合原始条件 | 确保正确性 |
四、示例计算（假设）
设点 $ A(1, 2) $，点 $ B(4, 6) $，半径 $ R = 5 $。
1. 方程：
$$
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 \\
(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25
$$
2. 展开并相减：
$$
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 25 \\
(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 12y + 36) = 25
$$
3. 相减得：
$$
(-2x + 1 - 4y + 4) - (-8x + 16 -12y + 36) = 0 \\
6x + 8y - 47 = 0
$$
4. 解得：$ y = \frac{47 - 6x}{8} $
5. 代入原方程，解出 $ x $，最终得到圆心坐标。
五、注意事项
- 若两点之间的距离大于 $ 2R $，则无解；
- 若两点之间的距离等于 $ 2R $，则只有一个圆心；
- 若两点之间的距离小于 $ 2R $，则有两个可能的圆心，分别位于线段的两侧。
六、结论
通过建立方程组并进行代数运算，可以求出满足条件的圆心坐标。此过程需要耐心和严谨的计算，同时注意几何条件的限制。掌握这一方法有助于解决实际应用中的相关问题。
