【有一个长方体如果高增加2厘米就变成了一个正方体,这是他的表面积】在几何学习中，长方体与正方体之间的关系常常是学生容易混淆的难点之一。题目“有一个长方体，如果高增加2厘米就变成了一个正方体，这是他的表面积”看似简单，实则需要仔细分析长方体的各个维度变化，并结合表面积公式进行计算。
一、问题分析
设原长方体的高为 $ h $ 厘米，那么当高增加2厘米后，变为 $ h + 2 $ 厘米。此时，这个长方体变成了一个正方体，说明此时的长、宽、高都相等。
因此可以得出：
- 长 = 宽 = 高 + 2
即：$ l = w = h + 2 $
而原来的长方体的高为 $ h $，所以原来的长和宽也应为 $ h + 2 $，否则无法通过增加高变成正方体。
二、解题步骤
1. 确定各边长度：
- 原长方体的长 = 宽 = $ h + 2 $
- 原长方体的高 = $ h $
2. 求出表面积公式：
长方体的表面积公式为：
$$
S = 2(lw + lh + wh)
$$
3. 代入已知值：
$$
S = 2[(h+2)(h+2) + (h+2)h + (h+2)h
$$
$$
= 2[(h+2)^2 + 2(h+2)h
$$
4. 化简表达式：
$$
= 2[(h^2 + 4h + 4) + 2h^2 + 4h
$$
$$
= 2[3h^2 + 8h + 4] = 6h^2 + 16h + 8
$$
三、结果总结
根据上述推导，我们可以得到以下结论：
| 项目 | 内容 |
| 原长方体的高 | $ h $ 厘米 |
| 原长方体的长和宽 | $ h + 2 $ 厘米 |
| 表面积公式 | $ S = 6h^2 + 16h + 8 $ 平方厘米 |
| 变成正方体后的边长 | $ h + 2 $ 厘米 |
四、实际应用举例
假设原长方体的高为 3 厘米，则其长和宽为 5 厘米，表面积为：
$$
S = 6(3)^2 + 16(3) + 8 = 54 + 48 + 8 = 110 \text{ 平方厘米}
$$
五、结语
通过本题可以看出，理解几何图形之间的转换关系是解决此类问题的关键。将长方体的高增加后变成正方体，意味着其他两个边必须保持不变，从而形成一个完全对称的立方体。掌握这种逻辑关系，有助于提升空间想象力和数学建模能力。
